Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю.

Прежде чем начать рассматривать тему, немного уточним следующее. Когда говорят привести дроби к общему знаменателю, то подразумевают, что надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). А также следует учесть еще один совет: прежде чем приводить дроби к общему знаменателю, необходимо сначала их сократить (если они сократимые).

А теперь начнем.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю:

1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ).

 Его можно находить разными способами.

1.1. Первый способ связан с отысканием наименьшего общего кратного (НОК). Как правило, в 6 классе многие еще помнят, как находить НОК, но в дальнейшем его мало кто запоминает и знает. Поэтому, если вы в 6 классе, берите на заметку и запоминаете нахождение НОК.

1.2. Второй способ  поиска НОЗ я называю «методом подбора». Он заключается в следующем.

Сначала из всех знаменателей данных дробей выбираем больший (ударение на «о») и проверяем, делится ли он на знаменатели остальных дробей без остатка. Если делится, то он и будет наименьшим общим знаменателем данных дробей. Если не делится, то продолжаем дальше, т.е. опять берем больший знаменатель, умножаем его на 2 и проверяем, делится ли получившееся число на знаменатели остальных дробей без остатка. Если делится, то получившееся число и будет наименьшим общим знаменателем данных дробей. Если не делится, то опять берем больший знаменатель и умножаем его уже на 3 и проверяем, делится ли получившееся число на знаменатели остальных дробей без остатка. Если делится, то получившееся число и будет НОЗ. Если не делится, то продолжаем умножать больший знаменатель на 4,5,6,7 и т.д. до тех пор, пока получившееся число будет делиться на знаменатели остальных дробей без остатка и это получившееся число будет наименьшим общим знаменателем.

1.3. Третий способ (частный случай первого способа).Если знаменатели являются взаимно простыми числами, то наименьшим общим знаменателем будет являться число, равное произведению этих чисел.

1.4. Есть еще четвертый способ, похож на третий. Если в третьем способе речь идет о знаменятелях со взаимно простыми числами, то в четвертом способе речь уже идет о любых числах. Четвертый способ не рациональный, но имеет право на существование, его, как правило, применяют в крайнем случае. А заключается он в том, что общим знаменателем будет произведение знаменателей дробей. Это еще терпимо, когда числа  не большие, а если числа большие — придется много считать и при этом не ошибиться…

2. Находим для каждой дроби дополнительный множитель: необходимо разделить общий знаменатель на знаменатели данных дробей. Как правило, дополнительный множитель записывают над косой чертой, либо в «лодочке» сбоку от числителя.

3. Умножаем числитель, и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. 

А теперь, как всегда, рассмотрим примеры.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

а)          б)

а) .

Следуем правилу, учитывая совет.

• Данные дроби не сокращаются.
• Найдем НОЗ. Знаменатели данных дробей представлены числами 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно, НОЗ будет их произведение, т.е. 2*3=6.
• Найдем дополнительные множители. Делим НОЗ на знаменатели дробей. Дополнительный множитель для первой дроби: 6:2=3, для второй дроби: 6:3=2.
• Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель каждой дроби.

Получаем:

Вот и привели дроби к НОЗ. Поставленная задача перед нами выполнена. Многие любят начать сокращать, но сокращать на данном этапе не надо — у нас же было задание привести дроби к НОЗ.

б)

Следуем правилу, учитывая совет.

• Данные дроби не сокращаются.
• Найдем НОЗ. Знаменатели дробей представлены числами 2,5,7, которые являются взаимно простыми. Следовательно, НОЗ будет их произведение, т.е. 2*5*7=70.
• Ищем дополнительные множители. Делим НОЗ на знаменатели дробей. Дополнительный множитель:
  для первой дроби: 70:2=35,
  для второй дроби 70:5=14,
  для третьей дроби: 70:7=10.
• Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель каждой дроби.

Получаем:

Вот и привели дроби к НОЗ. Поставленная задача перед нами выполнена. Опять повторюсь. Многие любят начать сокращать, но сокращать на данном этапе не надо — у нас же было задание привести дроби к НОЗ.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

Следуем правилу, учитывая совет.

• Данные дроби не сокращаются.
• Найдем НОЗ. Знаменатели дробей представлены числами 36 и 48, которые не являются взаимно простыми. Следовательно, НОЗ будем искать другим способом. Найдем НОЗ двумя способами, посмотрим, как они работают на примере.

а) Найдем НОЗ через отыскание НОК. Т.е. НОЗ = НОК (36; 38).

Найдем НОК (36;48). Для этого разложим на простые множители числа 36 и 48:

36 = 2*2*3*3, 48 = 2*2*2*2*3.

Тогда НОК(36; 48) = 2*2*3*3*2*2=144 = НОЗ.

б) Теперь найдем НОЗ вторым способом, т.е. «методом подбора». Выбираем больший знаменатель: 48.

Проверяем, делится ли он на 36 (знаменатель второй дроби) без остатка: 48 на 36 без остатка не делится. НОЗ не найден, продолжаем дальше.

48 умножаем на 2: 48*2=96. Поверяем, делится ли полученное число 96 на знаменатель второй дроби 36 без остатка: 96 на 36 без остатка не делится . НОЗ не найден, продолжаем дальше.

48 умножаем на 3: 48*3=144. Проверяем, делится ли 144 на 36 без остатка: 144 делится на 36 без остатка — 144:36=3. Таким образом, получили, что 144 – наименьший общий знаменатель.

• Ищем дополнительные множители. Делим НОЗ на знаменатели дробей. Дополнительный множитель:
  для первой дроби: 144:36=4,
  для второй дроби 144:48=3.

• Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель каждой дроби.

Получаем:

Вот и привели дроби к НОЗ. Поставленная задача перед нами выполнена. Повторюсь, сокращать на данном этапе не надо.

В результате при решении заданий по данной теме, рекомендуется следовать следующему плану — правилу.

1. Сокращаем дробь (если это возможно).
2. Находим НОЗ (либо произведение взаимно простых чисел, либо НОК, либо подбором).
3. Находим дополнительные множители.
4. Умножаем каждую дробь на ее дополнительный множитель.

Что еще осталось сделать? Конечно же, это отработать навыки решения.

 

Данная тема, т.е. тема «Приведение дробей к общему знаменателю», а также темы «Сокращение дробей», «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями», «Сложение и вычитание смешанных чисел (дробная часть — дробь с одинаковыми знаменателями)» являются базовыми для рассмотрения темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» . Поэтому, если есть проблемы по указанным темам, можно рассмотреть их по следующим ссылкам.

«Сокращение дробей»

«Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»

«Сложение и вычитание смешанных чисел (дробная часть — дробь с одинаковыми знаменателями)»