Сокращение дробей

Сокращение дробей.

Для более лучшего усвоения материала очень полезно знать признаки делимости чисел, это просто на просто ускоряет процесс, т.е. само действие сокращение дробей. Признаки делимости можно посмотреть, вспомнить (или выучить) здесь. И, конечно, все определения, которые встречаются, наизусть!

Что же такое сокращение дробей?

Определение. Cокращение дробей – это деление и числителя, и знаменателя на одно и то же натуральное число.

Следует отметить, что в результате сокращения мы должны получить несократимую дробь. Какая же дробь называется несократимой?

Определение. Несократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно – простыми числами.

 

 

Рассмотрим примеры.

Сократить  дробь .

Чтобы сократить дробь, надо и числитель и знаменатель разделить на одно и тоже число. На какое? В данном случае помогает определить таблица умножения: 2 делится на 2, 6 делится на 2. Следовательно будем сокращать (делить числитель и знаменатель) на 2.

В результате сокращения получили несократимую дробь (числа 1 и 3 — взаимно — простые). Следовательно, сокращение выполнено. 

Сократить дробь .

Чтобы сократить дробь, надо и числитель и знаменатель разделить на одно и тоже число. На какое? В данном случае опять же нам помогает определить таблица умножения: 15 делится на 5, 25 делится на 5. Следовательно, будем сокращать (делить числитель и знаменатель) на 5.

В результате сокращения получили несократимую дробь (числа 3 и 5 — взаимно — простые). Следовательно, сокращение выполнено.

Обычно само действие деление числителя и знаменателя на одно и тоже число не указывается, т.е. : ;

или возможна другая запись:

Хорошо, когда числа маленькие, т.е. с легкостью можно быстро определить, на какое число можно сократить дробь. А если большие? Вот для этого и существую способы сокращения дробей. Рассмотрим их.

Существует 3 способа сокращения дробей.

Рассмотрим на одном и тоже примере, как работаю 3 способа.

1 способ. Сокращаем постепенно, подбирая общие делители числителя и знаменателя, пока не получится несократимая дробь, используя признаки делимости.

Сократить дробь 
Используя признаки делимости, имеем: числа 28 и 40 делятся на 2, тогда , полученную дробь еще можно сократить, т.к. числа 14 и 20 делятся на 2, т.е. получим . 

Дробь дальше сократить нельзя, т.к. числа 7 и 10 являются взаимно простыми числами. Таким образом, наш пример будет выглядеть так:
Все, сокращение выполнено.

Данный пример можно решить и по другому, определив сразу, на какое число будем сокращать (на 4, т.к. 28 делится на 4, и 40 делится на 4).

2 способ. Сокращаем путем деления числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (НОД).

Сократить дробь :
Найдем НОД (28;40). Для этого разложим на простые множители числа 28 и 40:

28=2*2*7,

40=2*2*2*5.
Тогда НОД(28;40)=2*2=4. Следовательно, данную дробь сокращаем на 4: .

Дробь дальше сократить нельзя, т.к. числа 7 и 10 являются взаимно простыми числами. Следовательно, сокращение выполнено.

3 способ. Сокращение с помощью разложения на множители.

Прежде чем сокращать, надо числитель и знаменатель разложить на множители, и только потом сокращать.

Сократить дробь :

Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби, а затем выполним сокращение.

 

 

Разложение данной дроби может быть другим, но ответ должен получиться такой же.

При сокращении дробей можно использовать несколько способов.

Как всегда, после изучения темы необходимо отработать навыки решения.