Сокращение дробей

Сокращение дробей.

Для более лучшего усвоения материала очень полезно знать признаки делимости чисел, это просто на просто ускоряет процесс, т.е. само действие сокращение дробей. Признаки делимости можно посмотреть, вспомнить (или выучить) здесь. И, конечно, все определения, которые встречаются, наизусть!

Что же такое сокращение дробей?

Определение. Cокращение дробейэто деление и числителя, и знаменателя на одно и то же натуральное число.

Следует отметить, что в результате сокращения мы должны получить несократимую дробь. Какая же дробь называется несократимой?

Определение. Несократимая дробьэто дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно – простыми числами.

Пример несократимые дроби

 

 

Рассмотрим примеры.

Символ примера

Сократить  дробь Условие примера 1 на сокращение.

Чтобы сократить дробь, надо и числитель и знаменатель разделить на одно и тоже число. На какое? В данном случае помогает определить таблица умножения: 2 делится на 2, 6 делится на 2. Следовательно будем сокращать (делить числитель и знаменатель) на 2.

Решение примера 1 на сокращение

В результате сокращения получили несократимую дробь (числа 1 и 3 — взаимно — простые). Следовательно, сокращение выполнено. 

Символ примера

Сократить дробь Условие примера 2 сокращение дробей.

Чтобы сократить дробь, надо и числитель и знаменатель разделить на одно и тоже число. На какое? В данном случае опять же нам помогает определить таблица умножения: 15 делится на 5, 25 делится на 5. Следовательно, будем сокращать (делить числитель и знаменатель) на 5.

Решение примера 2 сокращение дробей

В результате сокращения получили несократимую дробь (числа 3 и 5 — взаимно — простые). Следовательно, сокращение выполнено.

Обычно само действие деление числителя и знаменателя на одно и тоже число не указывается, т.е. : Сокращенная запись сокращения 1;

или возможна другая запись:

Сокращенная запись сокращения 2

Хорошо, когда числа маленькие, т.е. с легкостью можно быстро определить, на какое число можно сократить дробь. А если большие? Вот для этого и существую способы сокращения дробей. Рассмотрим их.

Существует 3 способа сокращения дробей.

Рассмотрим на одном и тоже примере, как работаю 3 способа.

1 способ. Сокращаем постепенно, подбирая общие делители числителя и знаменателя, пока не получится несократимая дробь, используя признаки делимости.

Символ примера

Сократить дробь  Условие примера 3 сокращение дробей
Используя признаки делимости, имеем: числа 28 и 40 делятся на 2, тогда Решение примера 3 (1) сокращение дробей , полученную дробь еще можно сократить, т.к. числа 14 и 20 делятся на 2, т.е. получим Ответ примера 3 сокращение дробей

Дробь дальше сократить нельзя, т.к. числа 7 и 10 являются взаимно простыми числами. Таким образом, наш пример будет выглядеть так: Решение примера 3 (полное) сокращение дробей
Все, сокращение выполнено.

Данный пример можно решить и по другому, определив сразу, на какое число будем сокращать (на 4, т.к. 28 делится на 4, и 40 делится на 4).

2 способ. Сокращаем путем деления числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (НОД).

Символ примераСократить дробь : Условие примера 3 сокращение дробей
Найдем НОД (28;40). Для этого разложим на простые множители числа 28 и 40:

28=2*2*7,

40=2*2*2*5.
Тогда НОД(28;40)=2*2=4. Следовательно, данную дробь сокращаем на 4: Решение примера 3 (2) сокращение дробей.

Дробь дальше сократить нельзя, т.к. числа 7 и 10 являются взаимно простыми числами. Следовательно, сокращение выполнено.

3 способ. Сокращение с помощью разложения на множители.

Прежде чем сокращать, надо числитель и знаменатель разложить на множители, и только потом сокращать.

Символ примераСократить дробь : Условие примера 3 сокращение дробей

Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби, а затем выполним сокращение.

Решение примера 3 (3) сокращение дробей

 

 

Разложение данной дроби может быть другим, но ответ должен получиться такой же.

При сокращении дробей можно использовать несколько способов.

Как всегда, после изучения темы необходимо отработать навыки решения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.